Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} x\sqrt {12 - y} + \sqrt {y\left( {12 - {x^2}} \right)} = 12\\ {x^3} - 8x - 1 = 2\sqrt {y - 2} \end{matrix}\right.\left ( x,y \in R \right )$$

 ĐK: $2 \le y \le 12;  - \sqrt {12}  \le x \le \sqrt {12}$

$(1) \Leftrightarrow x\sqrt {12 - y}  = 12 - \sqrt {y(12 - x^2)}  (*)$
$ \Rightarrow x^2(12 - y) = 144 - 24\sqrt {y(12 - x^2)}  + y(12 - x^2)$
$ \Leftrightarrow  12(12 - x^2) - 24\sqrt {y(12 - x^2)}  + 12y = 0$
$ \Leftrightarrow 12\left( {\sqrt y  - \sqrt {12 - x^2} } \right)^2 = 0 \Leftrightarrow y = 12 - x^2 (**)$

Do $2 \le y \le 12;  - \sqrt {12}  \le x \le \sqrt {12}$ nên $12 - \sqrt {y(12 - {x^2})}  \ge 0$ ; từ (*) ta có $x \ge 0$

Thế (**) vào (2):

$x^3 - 8x - 1 = 2\sqrt {10 - {x^2}} \\
\Leftrightarrow x^3 - 8x - 3 + 2\left( 1 - \sqrt {10 - x^2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow (x - 3)\left( x^2 + 3x + 1 + \dfrac{2x + 3}{1 + \sqrt {10 - x^2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow y = 3$

Thử lại, hệ có nghiệm duy nhất (3; 3)

Cách 2:

Áp dụng BĐT Cauchy:

$x\sqrt {12 - y} + \sqrt y\sqrt{12 - x^2} \le \dfrac{x^2+(12-y)}{2} +\dfrac{y+(12-x^2)}{2} = 12$

Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt{12-y} \\ y=12-x^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y =12-x^2 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Thế $y = 12 - x^2$ vào (2) ta có cách giải tương tự.