Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua M cắt d,(P) lần lượt tại B,C sao cho $\Delta ABC$ cân tại B

Trong không gian $Oxyz$ cho $M(1,1,1)$, đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P): x+y-z+3=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ cắt $d,(P)$ lần lượt tại $B,C$ sao cho $\Delta ABC$ cân tại $B$ với $A=d \cap (P)$.

Gọi H là hình chiếu của B trên (P)

Ta có 2 tam giác vuông BHA và BHC bằng nhau (c.c)

nên $\widehat{BAH}=\widehat{BCH}$ suy ra $[\widehat{(d),(P)}]=[\widehat{(\Delta ),(P)}]$

Ta có $sin [\widehat{(d),(P)}]=\dfrac{|\overrightarrow{a_d}.\overrightarrow{n_P}|}{|\overrightarrow{a_d}|.|\overrightarrow{n_P}|}=\dfrac{1}{3}$

Do $B \in (d)$ nên $B(2+t;1-t;t)$ suy ra $\overrightarrow{MB}=(1+t;-t;t-1)$

Ta có $sin [\widehat{(\Delta),(P)}]=\dfrac{|\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{n_P}|}{|\overrightarrow{MB}|.|\overrightarrow{n_P}|}=\dfrac{|2-t|}{\sqrt{3}.\sqrt{3t^2+2}}$

Suy ra $\dfrac{|2-t|}{\sqrt{3}.\sqrt{3t^2+2}}=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow t =\dfrac{5}{6} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB}=(\frac{11}{6};\frac{-5}{6};\frac{-1}{6})=\dfrac{1}{6}(11;-5;-1)$

Vậy $(\Delta):\begin{cases}x &=1+11k\\y &=1-5k\\z &=1-k \end{cases}$