Viết phương trình mặt phẳng (OAB), với A(4;4;0) và điểm B thuộc (S), $\Delta$OAB đều.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2–4x–4y–4z=0$ và điểm $A(4;4;0)$. Viết phương trình mặt phẳng $(OAB)$, biết điểm $B$ thuộc $(S)$ và tam giác $OAB$ đều.

Ta có $O, A \in (S)$, kiểm tra bằng cách thế tọa độ 2 điểm $O, A$ vào phương trình $(S)$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;2;2)$, bán kính $R=2\sqrt{3}$

$OA=4\sqrt{2}$, suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB$ là $r=\dfrac{OA\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$

Gọi $H$ là tâm tam giác đều $OAB$; vì $O, A, B$ cùng thuộc $(S)$ nên: $IH=h=d[I,(OAB)]=\sqrt{R^2-r^2}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

Mặt phẳng $(OAB): ax +by+cz+d=0, a^2+b^2+c^2>0$

Do $O \in (OAB)$ nên $d=0$

Do $A \in (OAB)$ nên $4a+4b=0 \Leftrightarrow b=-a$ (hoặc dùng tính chất $\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{OA}=0$)

Suy ra $(OAB): ax-ay+cx=0$

Ta có $d[I,(OAB)]=\dfrac{|2c|}{\sqrt{2a^2+c^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow c=\pm a$

* $c=a$: chọn $a=c=1$ ta được $(OAB): x-y+z=0$

* $c=-a$: chọn $a=1 \Rightarrow c=-1$ ta được $(OAB): x-y-z=0$