Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với (P) một góc 30$^0$

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng và đường thẳng có phương trình $(P): x+2y-z+5=0$ và $(d): \dfrac{x+1} {2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{1}$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $(d)$ và tạo với $(P)$ một góc $30^0$.

Ta có:
$(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-1)$
$(d)$ có VTCP $\overrightarrow{a}=(2;1;1)$ và qua $M(-1;-1;3)$

Gọi $(Q): Ax+by+Cz+D=0, A^2+B^2+C^2>0$ có VTPT $\overrightarrow{n_Q}=(A;B;C)$
Do $\overrightarrow{n_Q} \perp \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{n_Q}.\overrightarrow{a}=0 \Leftrightarrow 2A+B+C=0 \Leftrightarrow C=-2A-B$
Do $M \in (Q): -A-B+3C+D=0 \Leftrightarrow D=A+B-3C=7A+4B$
Suy ra $(Q): Ax+By-(2A+B)z+7A+4B=0$ có VTPT $\overrightarrow{n_Q}=(A;B;-2A-B)$

Theo đề bài:

$cos (P,Q)= \dfrac{|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}|}{|\overrightarrow{n_P}|.|\overrightarrow{n_Q}|}=cos 30^0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{|A+2B+2A+B|}{\sqrt{6}\sqrt{A^2+B^2+(2A+B)^2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \Leftrightarrow 2|A+B|=\sqrt{2}\sqrt{5A^2+4AB+2B^2} \\ \Leftrightarrow A=0$

Suy ra $(Q):By-Bz+4B=0 \Leftrightarrow y-z+4=0$