Xác định a để bất phương trình sau có nghiệm: $x^3+3x^2-1 \leq a \left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right)^3$

Xác định a để bất phương trình sau có nghiệm: $x^3+3x^2-1 \leq a \left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right)^3$


ĐK: $x \geq 1$

Bất phương trình tương đương:

$\dfrac{x^3+3x^2-1}{\left( \sqrt{x}-\sqrt{x-1} \right)^3} \leq a \Leftrightarrow \left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^3\left( x^3+3x^2-1 \right) \leq a$

Xét hàm số:

$f(x)= \left (\sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)^3 \left( x^3+3x^2-1 \right)$ trên $[1;+\infty)$

Ta có

$f'(x)=3\left (\sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)^2 \left (\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\right) \left ( x^3+3x^2-1 \right )\ +\left (\sqrt{x} +\sqrt{x-1}\right)^3 \left ( 3x^2+6x \right) > 0, \forall x \geq 1$

Vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên $[1; +\infty)$

Mà $f(1) = 3; \underset{x \to +\infty}{lim}f(x)=+\infty$ nên $\underset{[1;+\infty)}{min}f(x)=f(1)=3$

Do đó điều kiện cần và đủ để bất phương trình có nghiệm là $a \geq \underset{[1;+\infty)}{min}f(x)\Leftrightarrow a \geq 3$