Giải bất phương trình $4^x -3.2^{x+\sqrt{x^2-2x-3}}-4^{1+\sqrt{x^2-2x-3}} > 0$

Giải bất phương trình $4^x -3.2^{x+\sqrt{x^2-2x-3}}-4^{1+\sqrt{x^2-2x-3}} > 0$


Điều kiện: $x \le -1 \vee x \ge 3$

Bất phương trình tương đương

$2^{2x} -3.2^{x+\sqrt{x^2-2x-3}}-4.2^{2\sqrt{x^2-2x-3}} > 0 \\ \Leftrightarrow 2^{2x-2\sqrt{x^2-2x-3}} -3.2^{x-\sqrt{x^2-2x-3}}-4 > 0$

Đặt $t=2^{x-\sqrt{x^2-2x-3}} > 0$

Bất phương trình trở thành: $t^2-3t-4 > 0 \Leftrightarrow t > 4 \vee t < -1$

Kết hợp với điều kiện $t>0$ ta được : $t>4$

$\Leftrightarrow 2^{x-\sqrt{x^2-2x-3}} >4 \\ \Leftrightarrow x-\sqrt{x^2-2x-3} >2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x-3} < x-2 \\ \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-2x-3 \ge 0 \\ x-2>0 \\ x^2-2x-3<(x-2)^2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow 3 \le x < \dfrac{7}{2} \mbox{ thỏa}$