Tính tích phân $I = \int \limits_0^{\frac{\pi ^2}{16}} \left[ \left( \tan \sqrt x \right)^3 + \tan \sqrt x \right] dx$

Tính tích phân $I = \int \limits_0^{\frac{\pi ^2}{16}} \left[ \left( \tan \sqrt x \right)^3 + \tan \sqrt x \right] dx$

Đặt $t=\sqrt x$ ta được $I = \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} ( \tan^3 t + \tan t).2t dt= \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \dfrac{\sin t}{\cos^3 t}.2t dt$

Đặt $u=2t \\ dv=\dfrac{\sin t}{\cos^3 t} dt$

Ta được: $I=\dfrac{t}{\cos^2 t}\Big| _{0}^{\frac{\pi }{4}} - \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \dfrac{1}{\cos^2 t}dt = ... =\dfrac{\pi}{2}-1$