Giải bất phương trình $125^x + 50^x \ge 2^{3x+1}$

Giải bất phương trình $125^x + 50^x \ge 2^{3x+1}$

Giải

Bất phương trình tương đương: $\left( \dfrac{125}{8} \right)^x + \left( \dfrac{50}{8} \right)^x \ge 2$

Xét hàm số $f(x)=\left( \dfrac{125}{8} \right)^x + \left( \dfrac{50}{8} \right)^x$ trên R.

$f'(x)=\left( \dfrac{125}{8} \right)^x.\ln \dfrac{125}{8} + \left( \dfrac{50}{8} \right)^x.\ln \dfrac{50}{8} > 0, \forall x \in R$

nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên R, mà $f(0)=2$

nên bất phương trình tương đương $f(x) \ge f(0) \Leftrightarrow x \ge 0$