Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc 2 đường thẳng có bán kính nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-4}{3} =\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+5}{-2}$ và $d_2:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z}{1}.$ Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2,$ viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Ta dễ dàng kiểm tra được $ d_1; d_2$ là 2 đường thẳng chéo nhau. Gọi tâm mặt cầu là $ I$, tiếp xúc với $ d_1$ tại $ A$, tiếp xúc với $ d_2$ tại $ B$. Khi đó ta có: $ \begin{cases} IA \perp d_1 \\ IB \perp d_2 \end{cases}$.

Ta có: $2R = IA+IB \ge AB \ge d(d_1 , d_2)$ nên $R$ nhỏ nhất khi $I, A, B$ thẳng hàng và $AB$ là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng $ d_1; d_2$
hay $ I$ là trung điểm của đoạn vuông góc chung $AB$.

Phần còn lại dành cho em !