Tính thể tích khối chóp G.BCMH theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và G là trọng tâm tam giác SCD. Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SMC) bằng $\dfrac{3a\sqrt{15}}{20}$. Tính thể tích khối chóp G.BCMH theo a.

Hướng dẫn

Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên MC và SI. Chứng minh HK = d(H,(SMC))
Trong tam giác CHM: $HI=\dfrac{2S_{CHM}}{MC}=\dfrac{\frac{3a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{3\sqrt{5}a}{10}$
Trong tam giác vuông SHI, chiều cao HK, ta tính được $SH= \dfrac{3\sqrt{15}a}{10}$
 Ta có $d(G,(ABCD))=\dfrac{1}{3}d(S,(ABCD))=\dfrac{SH}{3}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
Vậy thể tích $V_{G.BCMH}=\dfrac{1}{3}S_{BCMH}.d(G,(ABCD))=\dfrac{1}{3}.\dfrac{5a^2}{8}.\dfrac{a\sqrt{15}}{10}=\dfrac{a^3\sqrt{15}}{48}$