Giải phương trình ${\log _{\sqrt 5 - 2}}(x - \sqrt x + 1) + {\log _{9 + 4\sqrt 5 }}(2{x^2} - 30x + 2) = 0$

Giải phương trình ${\log _{\sqrt 5  - 2}}(x - \sqrt x  + 1) + {\log _{9 + 4\sqrt 5 }}(2{x^2} - 30x + 2) = 0$

ĐK: $\begin{cases} 0 \leq x < \dfrac{15 - \sqrt {221}}{2} \\  x > \dfrac{15 + \sqrt {221}}{2} \end{cases}$

Biến đổi phương trình: $- {\log _{\sqrt 5  + 2}}(x - \sqrt x  + 1) + \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 5  + 2}}(2{x^2} - 30x + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 5  + 2}}(x - \sqrt x  + 1) = {\log _{\sqrt 5  + 2}}\sqrt {2{x^2} - 30x + 2} \\ \Leftrightarrow x - \sqrt x  + 1 = \sqrt {2{x^2} - 30x + 2} \,\, (1)$

Ta có $x=0$ không là nghiệm
Chia 2 vế  của (1) cho $\sqrt{x}$ ta được $\sqrt x  + \dfrac{1}{\sqrt x} - 1 = \sqrt {2 \left( x + \dfrac{1}{x} \right) - 30}$
Đặt $t=\sqrt x  + \dfrac{1}{\sqrt x}, \,\, t \ge 2$
$\sqrt {2{t^2} - 34}  = t - 1 \Leftrightarrow 2{t^2} - 34 = {t^2} - 2t + 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 35 = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t = 5 \\ t =  - 7 \end{matrix} \right.$
So sánh ĐK, ta nhận: $t=5$
$\sqrt x  + \dfrac{1}{\sqrt x} = 5 \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{x} = 23 \\  \Leftrightarrow {x^2} - 23x + 1 = 0  \Leftrightarrow x = \dfrac{23 \pm 5\sqrt {21}}{2}$
Kết hợp ĐK, ta có: $x = \dfrac{23 \pm 5\sqrt {21}}{2}$