Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và song song với hai đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S) : x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-28=0$ và hai đường thẳng $(d_1): \dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z+13}{2}; (d_2): \dfrac{x+7}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-8}{1}$, Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ và song song với hai đường thẳng $(d_1); (d_2)$

Giải

Mặt cầu S có tâm $I(2;-3;1)$, và bán kính $R=\sqrt{42}$

Véctơ chỉ phương của $(d_1)$ và $(d_2)$ lần lượt là $\overrightarrow {n_1}=(2;-3;2)$;    $\overrightarrow{n_2}=(3;-2;1)$
Gọi $\overrightarrow{a}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

$\begin{cases} (d_1) // (P) \\ (d_2) // (P) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{d_1}\\ \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{d_2} \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{a}=\left[ \overrightarrow{n_1},\overrightarrow {n_2} \right] =(1;4;5)$

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $x+4y+5z+d=0$

Mà $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên
$d \left[ I,(P) \right]=R \Leftrightarrow \dfrac{| 2-12+5+d |}{\sqrt{1^2+4^2+5^2}}=\sqrt{42}\Leftrightarrow d=47 \vee d=-37$

Vậy có hai mặt phẳng $(P)$ là: $x+4y+5z +47=0$ và $x+4y+5z -37=0$