Tính tích phân $I =\displaystyle \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \dfrac{\sin 4x}{\cos x + \sqrt {5 - 4\sin x - \cos ^2x} } dx$

Tính tích phân $I =\displaystyle \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \dfrac{\sin 4x}{\cos x + \sqrt {5 - 4\sin x - \cos ^2x} } dx$


Ta có: $\sqrt {5 - 4\sin x - \cos ^2x}=\sqrt{(2-\sin x)^2}=2-\sin x$ và $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x=2\sin 2x(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)$

Do đó $I=\displaystyle \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \dfrac{2\sin 2x(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}{\cos x - \sin x + 2} dx$

Đặt $t=\cos x - \sin x + 2 \Rightarrow dt=-(\sin x+\cos x)dx$

$x=0 \Rightarrow t=3 ;\,\,  x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow t=2$

Ta có: $\cos x - \sin x=t-2 \Rightarrow (\cos x - \sin x)^2= (t-2)^2 \\ \Rightarrow 1-\sin 2x=t^2-4t+4 \Rightarrow \sin 2x = -t^2+4t-3$

$I=\displaystyle \int \limits_3^2 \dfrac{-2(-t^2+4t-3)(t-2)}{t} dt= ... = 12\ln \dfrac{3}{2}-\dfrac{14}{3}$