Giải phương trình:$\dfrac{1}{\cos ^2x}-\dfrac{1}{\sin^2 x}=\dfrac{8}{3}\cot \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).\cot \left( \dfrac{\pi }{6}-x \right)$

Giải phương trình:$\dfrac{1}{\cos ^2x}-\dfrac{1}{\sin^2 x}=\dfrac{8}{3}\cot \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).\cot \left( \dfrac{\pi }{6}-x \right)$

Giải

Điều kiện: $\begin{cases} \sin x.\cos x \ne 0 \\ \sin \left(x+\dfrac{\pi}{3} \right) \ne 0 \\ \sin \left( \dfrac{\pi}{6}-x \right) \ne 0 \end{cases}$

Phương trình tương đương:

$\dfrac{\sin ^2x-\cos ^2x}{\sin ^2x.\cos ^2x}=\dfrac{8}{3}\cot \left(x+\dfrac{\pi}{3} \right). \tan \left(x+\dfrac{\pi}{3} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{-4\cos 2x}{\sin ^2 2x}=\dfrac{8}{3}$

$\Leftrightarrow 2\sin ^2 2x + 3\cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos ^2 2x - 3\cos 2x -2= 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} \cos 2x &= 2 \mbox{ (Loại)} \\ \cos 2x &= -\dfrac{1}{2} \end{align} \right. \\ \Leftrightarrow x= \pm \dfrac{\pi}{3}+k\pi$

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi , k \in Z$