Tìm hai điểm A , B thuộc đồ thị sao cho tứ giác OABI là hình thang có đáy AB = 3.OI

Cho hàm số $y=\dfrac{x}{1-x} \,\, (C)$. Gọi $I(1;-1)$, tìm hai điểm A , B thuộc đồ thị sao cho tứ giác OABI là hình thang có đáy AB = 3.OI.

Đường thẳng $(AB) // (OI)$ nên $(AB)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{OI}=(1;-1)$ nên hệ số góc đường thẳng $(AB)$ là $k=-1$
Suy ra $(AB): y = -x+m$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(AB): \dfrac{x}{1-x}=-x+m \Leftrightarrow x^2 - (m + 2)x + m = 0$
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên $(AB)$ luôn cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B$

Ta có: $A(x_1, -x_1 + m), B(x_2, -x_2 + m)$ nên
$AB^2 = 2\left[( x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2\right] = 2(m^2+4)$
mà $AB=3.OI= 3 \sqrt{2}$
nên $2(m^2+4) = 18 \Leftrightarrow m= \pm \sqrt{5}$

Khi đó tọa độ 2 điểm $A, B$ là nghiệm của hệ $\begin{cases} x^2 - (\pm \sqrt{5} + 2)x \pm \sqrt{5} = 0 \\ y=-x  \pm \sqrt{5}\\ \overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{OI} \end{cases}$