Giải phương trình: $\dfrac{\cos^3 x. \cos 3x+\sin^3 x. \sin 3x}{\sqrt{2}\cos x-1}=\dfrac{\cos 4x+1}{2}$

Giải phương trình: $\dfrac{\cos^3 x. \cos 3x+\sin^3 x. \sin 3x}{\sqrt{2}\cos x-1}=\dfrac{\cos 4x+1}{2}$


Giải

Điều kiện: $\cos x \neq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Ta có:
$\begin{align} \cos^3 x. \cos 3x+\sin^3 x. \sin 3x &= \cos^2 x( \cos 3x.\cos x)+\sin^2 x.( \sin 3x.\sin x) \\ &= \dfrac{1}{2}\cos^2 x( \cos 4x+\cos 2x)-\dfrac{1}{2}\sin^2 x( \cos 4x-\cos 2x) \\ &=\dfrac{1}{2}\cos 4x(\cos^2x-\sin^2x)+\dfrac{1}{2}\cos 2x \\ &= \dfrac{1}{2}\cos 2x.(1+\cos 4x) \\ &=\dfrac{1}{2}(1+\cos 4x)(2\cos^2x-1) \\ &=\dfrac{1}{2}(1+\cos 4x)(\sqrt{2}\cos x+1)(\sqrt{2}\cos x-1) \end{align}$

Phương trình tương đương:

$\dfrac{1+\cos 4x}{2}(\sqrt{2}\cos x+1-1)=0 \\ \Leftrightarrow \cos^2 2x.\cos x =0 \\ \Leftrightarrow \cos 2x=0 \vee \cos x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x &= \dfrac{\pi}{2}+k\pi \\ x &= \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} \end{matrix} \right.$

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm: $\left[ \begin{matrix} x &= \dfrac{\pi}{2}+k\pi \\ x &= \pm \dfrac{3\pi}{4}+k2\pi \end{matrix}\right. (k \in Z)$