Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^2y+2x &= 3y^2 \\ xy^2+4y &= 5x^2 \end{cases}$

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^2y+2x &= 3y^2 \\ xy^2+4y &= 5x^2 \end{cases}$

Giải

Ta có $(x=0;y=0)$ là một nghiệm của hệ.

Trường hợp $xy \neq 0$: Hệ phương trình trở thành
$\begin{cases} \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{2x}{y^2} &= 3 \\ \dfrac{y^2}{x}+4\dfrac{y}{x^2} &= 5\end{cases} (*)$

Đặt $u=\dfrac{x^2}{y} \neq 0 , v=\dfrac{x}{y^2} \neq 0$
$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} u+2v &= 3 \,\, (1) \\ \dfrac{1}{v}+\dfrac{4}{u} &= 5 (2) \end{cases} $

$(1) \Leftrightarrow u=3-2v$ thế vào $(2): 10v^2 -13v+3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} v=1 \\ v=\dfrac{3}{10} \end{matrix} \right.$

Trường hợp $v=1 \Rightarrow u=1$
$\begin{cases} \dfrac{x^2}{y} &= 1 \\ \dfrac{x}{y^2} &= 1 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 &= y \\ x &= y^2 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} y^4 &= y \\ x &= y^2 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} y^3 &= 1 \\ x &= y^2 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} y &= 1\\ x &= 1 \end{cases}$

Trường hợp $v=\dfrac{3}{10} \Rightarrow u=\dfrac{12}{5}$
$ \begin{cases} x^2 &= \dfrac{12}{5}y \\ x &= \dfrac{3}{10}y^2 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} y^3 &= \dfrac{80}{3} \\ x &= \dfrac{3}{10}y^2 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} y &= \dfrac{2\sqrt[3]{90}}{3} \\ x &= \dfrac{2\sqrt[3]{300}}{5}\end{cases}$

Nghiệm của hệ phương trình: $(0;0) , (1;1) , \left(\dfrac{2\sqrt[3]{300}}{5},\dfrac{2\sqrt[3]{90}}{3}\right)$