Giải bất phương trình: $4x^2+3^{\sqrt{x}}x+ 3^{1+\sqrt{x}} < 2.3^{\sqrt{x}}x^2+2x+6$

Giải bất phương trình: $4x^2+3^{\sqrt{x}}x+ 3^{1+\sqrt{x}} < 2.3^{\sqrt{x}}x^2+2x+6$

Giải

Điều kiện: $x \ge 0$
Đặt $t=3^{\sqrt{x}} >0$

Bất phương trình trở thành:
$4x^2 +tx +3t < 2tx^2 + 2x + 6 \Leftrightarrow(4-2t)x^2 + t-2)x + 3t -6 < 0 \,\, (*)$
Xét phương trình: $(4-2t)x^2+(t-2)x+3t-6=0$
có $a-b+c=(4-2t)-(t-2)+(3t-6)=0$ nên phương trình có nghiệm $\left[ \begin{matrix} x=-1 \\ x=\dfrac{3}{2} \end{matrix} \right.$
hoặc tính $\Delta = (5t-10)^2$ ta cũng tìm được hai nghiệm x

$(*) \Leftrightarrow (4-2t)(x+1) \left( x-\dfrac{3}{2}\right) \Leftrightarrow (2-3^{\sqrt{x}})(x+1)(2x-3) < 0 $
Lập bảng xét dấu vế trái, ta được kết quả: $ \left[ \begin{matrix} 0 \le x < \log_3^2 2 \\ x > \dfrac{3}{2} \end{matrix} \right.$