Giải phương trình: $\cos x+\dfrac{1}{16\sin^3 x}=\sin x.\cos^2 2x$

Giải phương trình: $\cos x+\dfrac{1}{16\sin^3 x}=\sin x.\cos^2 2x$

Giải

ĐK: $sin x \neq 0$

Ta có:
$\begin{aligned} & \cos x+\dfrac{1}{16{{\sin }^{3}}x}=\sin x.{{\cos }^{2}}2x \\ &\Leftrightarrow 16\cos x \sin^3 x+1=16\sin^4 x-16\sin^4 x \sin^2 2x \\ &\Leftrightarrow 16(\sin^2 x\sin 2x)^2+8(\sin^2 x\sin 2x)+1-16\sin^4 x=0 \\ &\Leftrightarrow \sin^2 x\sin 2x=\dfrac{-1+4\sin^2 x}{4} \vee \sin^2 x\sin 2x=\dfrac{-1-4\sin^2 x}{4} \\ &\Leftrightarrow \sin^2 x(1-\sin 2x)=\dfrac{1}{4} \vee \sin^2 x(1+\sin 2x)=\frac{-1}{4} \\ & \Leftrightarrow \sin^2 x(\sin x-\cos x)^2=\dfrac{1}{4} \vee \sin^2 x(\sin x+\cos x)^2=\dfrac{-1}{4} \text{(loại)} \\ & \Leftrightarrow \sin x(\sin x-\cos x)=\dfrac{1}{2} \vee \sin x(\sin x-\cos x)=\dfrac{-1}{2} \\ & \Leftrightarrow \cos 2x=-\sin 2x \vee \sin 2x+\cos 2x=2 \text{(loại)}\\ &\Leftrightarrow \cos 2x=\cos {(2x+\frac{\pi}{2})} \\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} \end{aligned} $
Vậy nghiệm của phương trình là $x=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}$