Giải phương trình: $\dfrac{\cos 2x}{1+\cot x}-\tan x+\sqrt{2}\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{4} \right)=0$

Giải phương trình: $\dfrac{\cos 2x}{1+\cot x}-\tan x+\sqrt{2}\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{4} \right)=0$


Điều kiện: $\sin x \neq 0 \wedge \cos x \neq 0 \wedge \cot x \neq -1$

Phương trình tương đương:

$\dfrac{\cos 2x.\sin x}{\sin x+\cos x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}+\sin 2x-\cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow \cos 2x \left( \dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}-1 \right) +\sin x \left( 2\cos x-\dfrac{1}{\cos x} \right)=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-\cos 2x.\cos x}{\sin x+\cos x}+\dfrac{\sin x.\cos 2x}{\cos x}=0$

$\Leftrightarrow \cos 2x \left( \dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x} \right)=0$

$\Leftrightarrow \cos 2x(\sin^2 x+\sin x\cos x-\cos^2 x)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cos 2x=0 \,\, (1) \\ \sin ^2 x+\sin x\cos x-\cos ^2x=0 \,\, (2) \end{matrix} \right.$

$(1) \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$

$(2) \Leftrightarrow \tan ^2 x+\tan x -1=0 \Leftrightarrow \tan x= \dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow x= \arctan \dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}+h\pi$

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình: $\left[ \begin{align} x &= \dfrac{\pi}{4}+k\pi \\ x &= \arctan \dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}+h\pi \end{align} \right. (k,h \in Z)$