Tính chu vi hình bình hành MNPQ

Cho hai điểm $M(7;3) , N(9;2) $ và đường thẳng $(\Delta ):3x-2y+1=0$ , đường tròn $(C): (x-4)^2+(y-2)^2=5$ , biết $P \in (C) , Q \in (\Delta )$ sao cho $MNPQ$ là hình bình hành. Tính chu vi hình bình hành $MNPQ$ .

Ta có MNPQ là hình bình hành nên $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MN}=(2;-1)$ (không đổi)
$ \Leftrightarrow T_{\overrightarrow{MN}}(Q)=P$
mà $Q \in (\Delta )$ , gọi $ T_{\overrightarrow{MN}}(\Delta )=(\Delta ’)$
suy ra $P \in (\Delta ’)$ vậy $P = (\Delta ’) \cap (C)$

Ta tìm được $(\Delta ’): 3x-2y-7=0$
Giao điểm của $(\Delta ’)$ và $(C)$ là: $P_1(5;4) , P_2\left (\dfrac{33}{13};\dfrac{4}{13}\right )$

*Trường hợp $P(5;4): \overrightarrow{NP}=(-4;2)$
Suy ra $\overrightarrow{NP}=-2\overrightarrow{MN}$ nên $\overrightarrow{NP}, \overrightarrow{MN}$ cùng phương hay $M, N, P$ thẳng hàng. Vậy $P(5;4)$ loại

*Trường hợp $P\left (\dfrac{33}{13};\dfrac{4}{13}\right ) : \overrightarrow{NP}=\left (-\dfrac{84}{13};-\dfrac{22}{13}\right )$
Suy ra $\overrightarrow{NP}, \overrightarrow{MN}$ không cùng phương hay $M, N, P$ không thẳng hàng. Vậy $P\left (\dfrac{33}{13};\dfrac{4}{13}\right )$ nhận

Chu vi hình bình hành $MNPQ$ là $ 2(MN+NP) =2 \left (\sqrt{5}+\dfrac{2\sqrt{145}}{13}\right )$