Tìm điều kiện để $z^2+bz+c=0$ có một nghiệm là $z=1+i$

Tìm các số thực $b,c$ để phương trình $z^2+bz+c=0$ nhận số phức $z=1+i$ làm một nghiệm.


Do $z=1+i$ là nghiệm của phương trình $z^2+bz+c=0$ nên: $\begin{align} (1+i)^2+b(1+i)+c=0 & \Leftrightarrow i(2+b)+b+c=0 \\ & \Leftrightarrow \begin{cases}b+2=0 \\ b+c=0 \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases}b = -2 \\ c= 2 \end{cases} \end{align}$

Vậy các số thực cần tìm là $b=−2$ và $c=2$