Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $P=\frac{(x^2-1)^2+(y^2-1)^2+2xy(xy-1)+3}{x^2+y^2-3}$

Cho các số thực $x,y$ thay đổi và thỏa mãn: $x^2-xy+y^2=1$.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $P=\dfrac{(x^2-1)^2+(y^2-1)^2+2xy(xy-1)+3}{x^2+y^2-3}$

$P=\dfrac{{(1 + xy)}^{2} - 2(1 + xy) - 2xy + 5}{xy-2} = xy + \dfrac{4}{xy-2} $
Từ giả thiết ta có: $xy+1=x^2+y^2 \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 1$

Ta cũng có: $xy+1=x^2+y^2 \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge -1$

Suy ra: $-1 \le t \le 1$

Ta khảo sát hàm số: $ f(t)=t+\dfrac{4}{t-2} , t \in [-1;1]$

Ta tìm được: $\underset{[-1;1]}{min} f(t)=f(1)=-3; \underset{[-1;1]}{max}f(t)=f(0)=-2$ .

$P$ đạt GTNN là $-3$ khi và chỉ khi $\begin{cases} x^2-xy+y^2=1 \\ xy=1 \end{cases}$

Tương tự với GTLN