Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc đồng thời với trục $Ox$ và đường tròn $x^2+y^2-4x-8y+11=0$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lập phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc đồng thời với trục $Ox$ và đường tròn $(C): x^2+y^2-4x-8y+11=0$.

Giải

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;4)$, bán kính $R=3$

Kẻ $IH \perp Ox \Rightarrow IH=4$

Gọi $r$ là bán kính đường tròn cần tìm, ta có $R+2r \ge IH \Leftrightarrow 3+2r \ge 4 \Leftrightarrow r \ge \dfrac{1}{2}$

$r$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{1}{2}$ khi và chỉ khi tâm đường tròn cần tìm thuộc $IH$

$(C'):(x-2)^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$