Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC cân và $\widehat{ABC}=120^0$

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-1;0;4),B(2;0;7)$. Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(P): x+y-z+3=0$ sao cho tam giác $ABC$ cân và có $\widehat{ABC}=120^0$.

Hướng dẫn

Gọi $C(x;y;z)$

- Tính được $AB=3\sqrt{2}$

- Ta có $C \in (P)$ nên $x+y-z+3=0$ (1)

- Gọi $H$ là trung điểm $AC$. Do tam giác $ABC$ cân tại $B$  nên $BH \perp AC \Leftrightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$ (2)

- Ta có $BC=BA=3\sqrt{2}$ và $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right)=\widehat{ABC}=120^0$ nên ta cũng có $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.\cos \left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}\right)=18.\cos 120^0 =-9$ (3)

Hoặc áp dụng ĐL cosin trong tam giác $ABC$, tính được $AC=3\sqrt{6}$ (3)

- Giải hệ (1), (2) và (3) tìm được $C$

- Kết quả $C_1 \left( \dfrac{25+\sqrt{73}}{6}, \dfrac{2-\sqrt{73}}{3}, \dfrac{47-\sqrt{73}}{6}\right)$ và $C_2 \left( \dfrac{25-\sqrt{73}}{6}, \dfrac{2+\sqrt{73}}{3}, \dfrac{47+\sqrt{73}}{6}\right)$