Tìm tọa độ đỉnh A của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ . Gọi M là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là điểm nằm trên cạnh $CD$ sao cho $CN=2ND$. Giả sử $M(\dfrac{11}{2},\dfrac{1}{2})$ và đường thẳng $AN$ có phương trình $2x-y-3=0$. Tìm tọa độ điểm $A$.


Gọi $MH$ là đường cao của $\Delta MNA$ : $MH=d(M,AN)=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

Đặt độ dài cạnh hình vuông là $6a$

Ta tính được $AM=3\sqrt{5}a ; AN=2\sqrt{10}a$

Ta có diện tích $\Delta MNA$ : $S_{\Delta MNA}=S_{ABCD}-S_{ABM}-S_{MNC}-S_{ADN}=36a^2-9a^2-6a^2-6a^2=15a^2$

Ta có diện tích $\Delta MNA$ : $S_{\Delta MNA}=\frac{1}{2}MH.AN =\dfrac{15a\sqrt{2}}{2}$

Suy ra $a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ nên $AM=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$

Điểm $A$ nằm trên đường thẳng $AN$ : $A(t; 2t-3)$

$AM^2=(t-\frac{11}{2})^2+(2t-\frac{7}{2})^2=\dfrac{90}{4} \Leftrightarrow t=1 \vee t=4 \Leftrightarrow A(1;-1) \vee A(4;5)$