Điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+2m-3$. Tìm các giá trị m để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.


Tập xác định: R

$y’ = 4x^3-4mx =4x(x^2-m)$

Đồ thị có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y’ $ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$

Tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị: $A(0;2m-3) ,\; B(\sqrt{m}; -m^2+2m-3), \; C(-\sqrt{m}; -m^2+2m-3)$

Do tính đối xứng của đồ thị hàm trùng phương nên : AB = AC và Oy vuông góc với BC

Gọi H là giao điểm của $BC$ và trục $Oy$ : $H(0; -m^2+2m-3)$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$: $R=\dfrac{AC}{2sinB}=\dfrac{AB}{2sinB}=\dfrac{AB^2}{2AH}$

Ta tính được $AB=\sqrt{m+m^4}, \; \; AH=m^2$

Theo đề bài: $R=1 \Leftrightarrow \dfrac{m^4+m}{2m^2}=1 \Leftrightarrow m(m-1)(m^2+m-1)=0$

Giải và kết hợp với điều kiện: $\left [ \begin{matrix} m=1 \\ m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix} \right.$

# Có thể dùng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\dfrac{AB.AC.BC}{4S_{\Delta ABC}}$