Tiếp tuyến của (C) tại A,B song song với nhau

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$. Tìm các điểm A,B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A,B song song với nhau và $AB=4\sqrt{2}$


Ta có $y'=3x^2-6x$

Gọi $A(a;a^3-3a^2+1)$ và $B(b;b^3-3b^2+1)$ với $a \ne b$ , là các điểm thoả mãn bài toán

Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ có hệ số góc là $f '(a)=3a^2-6a$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $B$ có hệ số góc là $f '(b)=3b^2-6b$

Do 2 tiếp tuyến trên song song với nhau nên ta có $f '(a)=f '(b) \Leftrightarrow 3a^2-6a=3b^2-6b \Leftrightarrow 3(a-b)(a+b)-6(a-b)=0 \\ \Leftrightarrow (a-b)(3a+3b-6)=0 \Leftrightarrow b=2-a \; \; (1)$

Mặt khác ta lại có $AB=\sqrt{(a-b)^2+(a^3-b^3-3a^2+3b^2)^2}=4\sqrt{2} \; \; (2)$

Thế (1) vào (2) , giải tìm được a, b
Kết quả: $A(3;1), B(-1;-3)$ hay $A(-1;-3), B(3;1)$