Tìm số hạng tổng quát

Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 3+4u_n , (n \ge 1) \end{cases}$

Giải:

Đặt $v_{n+1} = u_{n+1} +{\color{Red} 1}$

Ta có $v_{n+1}= u_{n+1} +1=3+4u_n +1=4(u_n +1) =4v_n$

nên $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1 = 3; , q=4$

do đó $v_n = v_1.q^{n-1}=3.4^{n-1}$. Vậy $u_n=3.4^{n-1}-1$

Câu hỏi: Tại sao lại đặt $v_{n+1} = u_{n+1} + 1$ mà không là $v_{n+1} = u_{n+1} + 10$ hay một số nào khác
Ta tìm số $b$ trong $v_{n+1} = u_{n+1} + b$ sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân
$v_{n+1}= u_{n+1} +b=3+4u_n +b=4(u_n +1) +b-1$ suy ra $b-1=0$ hay $b =1$

Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_1 = a \\ u_{n+1} = b+qu_n , (n \ge 1) \end{cases} (q \ne 0 ;1)$

Giải:

Đặt $v_{n+1} = u_{n+1} +c$ sao cho $v_{n+1} = q.v_n$

Ta có $v_{n+1}=q.v_n \Leftrightarrow u_{n_1}+c=q(u_n + c) \Leftrightarrow b+q.u_n + c= q.u_n + qc \Leftrightarrow c=\dfrac{b}{q-1}$

Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 =u_1 +c =\dfrac{b}{q-1}+c$
$u_n =v_n-c =v_1.q^{n-1}-c=\boxed{\left ( \dfrac{b}{q-1}+c \right ).q^{n-1}-\dfrac{b}{q-1}}$

Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy $(u_n)$: $\begin{cases} u_1 = 1 \;\; u_2=5 \\ u_{n+2} = 5u_{n+1}-6u_n , (n \ge 1) \end{cases}$

Giải:

Từ giả thiết: $u_{n+2} -{\color{Red}2}u_{n+1}={\color{Green} 3}(u_{n+1}-{\color{Red}2}u_n)$

$u_{n+2} -t_1.u_{n+1}=t_2(u_{n+1}-t_1.u_n) \Leftrightarrow u_{n+2} =(t_1+t_2)u_{n+1}-t_1.t_2.u_n$

nên $t_1 , t_2$ là nghiệm của phương trình: $X^2 -5X +6=0 \Leftrightarrow X=2 \vee X = 3$

Đặt $v_{n+1}=u_{n+2}-2u_{n+1}$ thì $(v_n)$ là cấp số nhân có $q=3$ và $v_1=u_2-2u_1=3$

Ta có $v_{n}=u_{n+1}-2u_{n}=v_1.3^{n-1}=3^n \Leftrightarrow u_{n+1}=2u_{n}+3^n$

Đặt $w_{n+1}=u_{n+1}+k.3^n$ sao cho $w_{n+1}=2w_n$.

Cách làm tương tự bài toán 2 ta được : $k=-3$

Do $(w_n)$ là cấp số nhân có công bội $q'=2$ và $w_1=u_1+k.3^0=-2$

Ta có $w_n=w_1.2^{n-1}=-2^n \Rightarrow u_n=w_n-k.3^{n-1}=w_n+3^n=3^n-2^n$