Phương trình bậc ba

Bước 1: Chia 2 vế cho hệ số $x^3$, đưa về dạng $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$
Bước 2: Đặt $ x = y - \dfrac{a}{3} $ đưa phương trình về dạng $ y^3 + py + q = 0 $ hay $ \mathbf{x^3 + px + q = 0} $

Cách 1 (Viete)
Đặt $ x= \dfrac{p}{3t} - t $
Phương trình trở thành $ t^6 - qt^3 - \dfrac{p^3}{27} = 0 $
Đây là phương trình bậc hai theo $ t^3 $, giải được.

Cách 2
1. p = 0: pt có nghiệm $x=-\sqrt[3]{q} $
2. p > 0: Đặt $ x=\left(\sqrt[3]{t}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{t} }\right)\sqrt{\dfrac{p}{3}} $
Phương trình trở thành $ t-\dfrac{1}{t}=m $
Đây là phương trình bậc hai, giải được.
3. p < 0: Đặt $ x=z\sqrt{-\dfrac{p}{3}} $
Đưa phương trình về dạng: $ z^3- 3z = m $
a) $ | m | < 2 $: Đặt $ z = 2\cos t $ đưa pt về dạng $ 2.\cos3t = m $
b) $ | m | \geq 2 $: Đặt $ z=\sqrt[3]{t}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{t}} $
Phương trình trở thành $ t+\dfrac{1}{t}=m $
Đây là phương trình bậc hai, giải được

Cách 3
phương trình $ x^3+ px +q = 0 $
Đặt x = u + v
pt $ \Leftrightarrow (u + v)^3 + p(u + v) + q = 0 \Leftrightarrow u^3 + v^3 + q + (u + v)(3uv + p) = 0 $
Tìm 2 số u, v sao cho: $ \begin{cases}u^3+v^3=-q \\ uv = - \dfrac{p}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=- \dfrac{p^3}{27} \end{cases} $
$ u^3, v^3 $ là nghiệm của phương trình: $ z^2+qz-\dfrac{p^3}{27} \Leftrightarrow z=-\dfrac{q}{2}\pm \sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}} $
Vậy nghiệm của phương trình : $x=u+v=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}} $