Phép quay

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $M$ Tìm ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$.

Giải

Đặt $(Ox,OM)=\varphi$
Ta có $M(OM\cos \varphi ; OM\sin \varphi)$
$Q_{(O;\alpha)}(M)=M'$

Ta có $(Ox,OM')=(Ox,OM)+(OM,OM')=\varphi+\alpha$ nên
$\begin{cases} x_{M'}=OM'\cos (\varphi+\alpha) \\y_{M'}=OM'\sin (\varphi+\alpha)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=OM\cos \varphi \cos\alpha-OM\sin\varphi \sin\alpha \\y_{M'}=OM\sin \varphi \cos\alpha+OM\cos\varphi \sin\alpha \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=x_M \cos\alpha-y_M \sin\alpha \\ y_{M'}=x_M\sin\alpha +y_M\cos\alpha \end{cases}$

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $M(\sqrt{3}; 5)$ Tìm ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $120^0$.

Giải

Đặt $(Ox,OM)=\varphi$
Ta có $M(OM\cos \varphi ; OM\sin \varphi) \Leftrightarrow \begin{cases}OM\cos \varphi =\sqrt{3}\\ OM\sin \varphi=5 \end{cases}$
$Q_{(O;120^0)}(M)=M'$

Ta có $(Ox,OM')=\varphi+120^0$ nên
$\begin{cases} x_{M'}=OM'\cos (\varphi+120^0) \\ y_{M'}=OM'\sin (\varphi+120^0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=OM\cos \varphi \cos120^0-OM\sin \varphi \sin120^0 \\ y_{M'}=OM\sin \varphi \cos120^0+OM\cos \varphi \sin120^0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=\sqrt{3}(-\frac{1}{2})-5(\frac{\sqrt{3}}{2}) =-3\sqrt{3}\\ y_{M'}=5(-\frac{1}{2})+\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) =-1\end{cases}$

Vậy $M'(-3\sqrt{3} ; -1)$

Tổng quát: Phép quay tâm $I(x_0 ; y_0 )$ góc quay $\alpha$
$Q_{(I;\alpha)}(M)=M' \Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}-x_0 =(x_M-x_0) \cos\alpha-(y_M-y_0) \sin\alpha \\ y_{M'}-y_0=(x_M-x_0)\sin\alpha+(y_M-y_0)\cos\alpha \end{cases}$