Giải phương trình $25^x-2(3-x)5^x+2x-7=0$

Giải phương trình: $25^x-2(3-x)5^x+2x-7=0$

Giải

Đặt $t=5^x$. ĐK $t>0$

Phương trình được viết lại như sau: $t^2-2(3-x)t+2x-7=0$

Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai theo ẩn t. Phương trình này có biệt số $\Delta' = (3-x)^2 - (2x-7)=(x-4)^2$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt : $\left[ \begin{align} t &=-1 \mbox{(vô nghiệm)} \\ t &=7 -2x \end{align} \right.$

Do đó $5^x =7-2x \Leftrightarrow 5^x+2x-7=0$

Xét hàm số $f(x)=5^x+2x-7$ trên $R$

$f'(x)=5^x \ln 5 +2>0, \, \forall x \in R \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $R$

mà $f(1)=0$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$