Giải phuơng trình $\sin^5 x + \cos^5 x = \dfrac{11}{16}(\sin x + \cos x)$

Giải phuơng trình $\sin^5 x + \cos^5 x = \dfrac{11}{16}(\sin x + \cos x)$

Hướng dẫn

Biến đổi vế trái

$(\sin^5 x - \sin^3 x) + (\cos^5 x -\cos^3 x) + (\sin^3 x + \cos^3 x) \\ = \sin^ 3x(\sin^ 2x-1)+\cos^ 3x(\cos^ 2x-1)+(\sin^ 3x+\cos^ 3x) \\ =-\sin^ 3x\cos^ 2x-\sin^ 2x\cos^ 3x+(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x) \\ =-\sin^ 2x\cos^ 2x(\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x) \\ =-\dfrac{1}{4}\sin^2 2x(\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)(1-\dfrac{1}{2}\sin 2x)$

Phương trình tương đương

$(\sin x+\cos x)(-\dfrac{1}{4}\sin^2 2x-\dfrac{1}{2}\sin 2x+\dfrac{5}{16})=0$