Giải phương trình: $\frac{(1+\sin x -\cos ^2 x)}{\sin ^2 x}\tan \left ( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right )-\tan x= 2\sqrt{3}$

Giải phương trình: $\dfrac{(1+\sin x -\cos ^2 x)}{\sin ^2 x}\tan \left ( \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2} \right )-\tan x= 2\sqrt{3}$


Điều kiện: $x \ne \frac{k\pi}{2}, \, k \in \mathbb Z.$
Ta có $\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right) =\dfrac{1-\tan \dfrac{x}{2}}{1+\tan \dfrac{x}{2}} =\dfrac{\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}} \\ =\dfrac{\left(\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)\left(\cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}\right)}{\left(\cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$
và $\dfrac{1+\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}=\dfrac{\sin^2 x+\sin x}{\sin^2x}=\dfrac{1+\sin x}{\sin x}$
Do đó phương trình tương đương: $\cot x -\tan x =2\sqrt{3}$