Đề thi thử môn Toán lần 4 năm 2012 Đại học Khoa học tự nhiên

Câu I.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1} \,\, (C)$
2. Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d): y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số $(C)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho độ dài $AB$ nhỏ nhất

Câu II.
1. Giải phương trình: $2\cos^3x=2\cos x+2\tan 2x+\sin x. \sin 2x$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} (\sqrt{2x-1}-1).2^{y-1}=\dfrac{2-2\sqrt{2-x}}{x} \\ \log_2x=2-y \end{cases}$

Câu III. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi : $x=0 ; x=\dfrac{\pi}{2}; y= 0 ; y=\sqrt{\sin x(x+\sin x)}$

Câu IV. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh $AB=AD=AA'=1$ các góc phẳng tại đỉnh $A$ bằng $60^0$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB'$ và $A'C'$

Câu V. Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn điều kiện: $ a+b=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:$P=\dfrac{1}{2+6a^2+9a^4}+\dfrac{1}{2+6b^2+ 9b^4}$

Câu VI.
1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lập phương trình đường tròn có bán kính bé nhất tiếp xúc đồng thời với trục $Ox$ và đường tròn $x^2+y^2-4x-8y+11=0$.
2. Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $ (P): x+y+z+2=0, (Q): x+y-z-1=0$. Lập phương trình đường thẳng $(d)$ song song với 2 mặt phẳng $(P), (Q)$ và cách hai mặt phẳng một đoạn bằng $\sqrt{3}$

Câu VII. Tìm số phức $z$ thỏa mãn $2$ điều kiện :$\dfrac{\overline{z}}{1+i}$ có modun bằng $2$ và một acgumen của nó bằng $\dfrac{\pi}{12}$