Giải $\log _{2}^{2}(2-x)+\log_{2}(2-x)=\log_{2}(2x-x^{2})$

Giải phương trình: $\log _{2}^{2}(2-x)+\log_{2}(2-x)=\log_{2}(2x-x^{2})$

Hướng dẫn
ĐK:  0 < x < 2
Phương trình trở thành:  $\log _{2}^{2}(2-x)+\log_{2}(2-x)=\log_2 {x} +\log_{2}(2-x) \Leftrightarrow \log _{2}^{2}(2-x)=\log_{2}x $
Đặt $t=\log_2 x \Leftrightarrow x=2^t  $
Ta được: $\log_{2}^{2}(2-2^t)=t \Leftrightarrow \log_{2}(2-2^t)=\sqrt{t} \; (t \ge 0)$
$\Leftrightarrow 2-2^t=2^{\sqrt{t}} \Leftrightarrow 2^t + 2^{\sqrt{t}} -2 =0$
Xét hàm số $g(t)=2^t + 2^{\sqrt{t}} -2$ trên $[0;+\infty)$
Ta có: $g'(t) > 0 , \forall t >0$  nên g(t) đồng biến trên $[0;+\infty)$ mà $g(0)=0$
Do đó phương trình có nghiệm:  $t=0 \Leftrightarrow x=1$