Tính thể tích biết khoảng cách hai đường chéo nhau.

Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$, khoảng cách giữa $SA, BC$ là $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$. Biết hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác $ABC$ tính thể tích tứ diện $SABC$.

Hướng dẫn

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $K$ là hình chiếu của $A$ trên $(SBC)$
Trong $(SBC)$ vẽ $SE$ vuông góc với $KM$, vẽ $MN$ vuông góc với $AE$
Ta có: $d(A,(SBC))=AK=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$, $d(SA,BC)=MN=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
Trong tam giác $AME$ tính được $EM$
mà $EM$ bằng khoảng cách từ $S$ đến $BC$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}AK.\dfrac{1}{2}EM.BC$