$V_{SMBI}+V_{SCNI} =V_{SABC}$

Cho tam giác $ABC$ đều , cạnh $a$ trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM=x$ , trên đường thẳng $d$ vuông góc với $(ABC)$ tại $M$ lấy điểm $S$ ($S$ khác $M$). Gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$ mặt phẳng $(SMI)$ cắt đường $AC$ tại $N( NA>NC)$ . Tìm $x$ để $V_{SMBI}+V_{SCNI} =V_{SABC}$.

Gọi độ dài cạnh tam giác đều $ABC$ là $2b$
Ta có:

$V_{SMBI}+V_{SCNI} =d[S,(ABC)][S_{MBI}+S_{CNI}]$

$V_{SABC}= d[S,(ABC)].S_{ABC}$

Suy ra $S_{ABC}=S_{MBI}+S_{CNI}$
$\Rightarrow b^2\sqrt{3}=\dfrac{by\sqrt{3}}{4}+\dfrac{b\sqrt{3}.CN}{4}$
$\Rightarrow CN=4b-y$

Ta có: $\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{BJ}{MB}=\dfrac{CN}{MB} \Leftrightarrow \dfrac{6b-y}{x}=\dfrac{4b-y}{y}$

$\Leftrightarrow \dfrac{4b+x}{x}=\dfrac{2b+x}{2b-x} \Leftrightarrow x= (\sqrt{5}-1)b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}a$