Tính $\lim\limits_{x \to 1}\frac{x^n -nx +n -1}{(x-1)^2}$

Đặt $t=x-1$

$\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{(t+1)^n -n(t+1) +n -1}{t^2}$

$=\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{1+nt+C_{n}^{2} t^2 + C_{n}^{3} t^3+...+ C_{n}^{n} t^n -nt-n +n -1}{t^2}$

$=\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{C_{n}^{2} t^2 + C_{n}^{3} t^3+...+C_{n}^{n} t^n}{t^2}$

$=\lim\limits_{t \to 0} \left ( C_{n}^{2} +C_{n}^{3} t+...+C_{n}^{n} t^{n-2} \right )$

$=C_{n}^{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

Bài tập tương tự

1) $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{(x^n-a^n)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}=\dfrac{n(n-1)a^{n-2}}{2}$

2) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)...(1+nx)-1}{x} =\dfrac{n(n+1)}{2}$

3) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2}=\dfrac{mn(n-m)}{2}$