Thể tích của khối chóp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, và hình chiếu $H$ của $A$ lên mặt $(SBC)$ là trực tâm của tam giác $SBC$ ($H$ nằm trong tam giác $SBC$). Giả sử góc giữa hai mặt $(HAB)$ và $(ABC)$ có số đo bằng $30^0$, tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.

Gọi $D, F$ lần lượt là chân các đường cao vẽ từ $B, S$ của $\Delta SBC$;
$M$ là trung điểm của $AB$ và $O$ là giao điểm của $AF$ và $CM$.

Ta có: $BC \bot (SAF)$ (do $BC$ vuông góc với $SF, AH$) nên $(ABC) \bot (SAF)$

Tương tự: $SC \bot (ABD) \Rightarrow  SC \bot AB \Rightarrow  AB \bot (SMC) \Rightarrow  (ABC) \bot (SMC)$

Mà $(SAF) \cap  (SMC) = SO$ nên $SO \bot (ABC)$

Do $\Delta ABC$ đều nên $S.ABC$ là hình chóp đều $ \Rightarrow  SB = SC = SA$

$\angle[(HAB),(ABC)] = \angle[(DAB),(ABC)] = \angle[MD,MC] = 30^0 \Rightarrow \angle DCM = 60^0$
Trong tam giác vuông $SOC$: $\left\{\begin{matrix}
SO=3\\
OC=\sqrt{3}
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow BC=3$

$S_{ABC}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}  \Rightarrow V_{SABC}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$