Tính thể tích khối chóp S.ABC

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA= $2\sqrt{3}$ và hình chiếu H của A lên (SBC) là trực tâm tam giác SBC (H nằm trong tam giác SBC). Giả sử góc giữa hai mặt (HAB) và (ABC) có số đo bằng $30^0$, tính thể tích khối chóp S.ABC.

 Gợi ý:

Gọi SK, BF, CE là đường cao của tam giác SBC
Ta có: $\begin{cases} BC \perp  SK \\ BC \perp  AH \end{cases} \Rightarrow BC \perp AK \Rightarrow BK=KC \Rightarrow \Delta SBC$ cân tại S.
Tương tự:$SC \perp AB$, gọi I là trung điểm AB thì $CI \perp AB$ suy ra $AB \perp (FIC)$
Theo giả thiết: $[(HA\widehat{B),(A}BC)]= \widehat{FIC}=30^0$
Đặt $AB=2a \Rightarrow CI=a\sqrt{3}$
Trong tam giác vuông $FIC: FI=\dfrac{3a}{2}; FC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có $\Delta SKC \sim \Delta BFC: SC=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}; SK=\dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}; BF=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Diện tích tam giác $ABF: AH.BF=AB.FI \Rightarrow AH=\dfrac{6a}{\sqrt{3}}$
Thể tích tứ diện $SABC: V=\dfrac{1}{3}AH.\dfrac{1}{2}SK.BC=2\sqrt{13}a^3$
Ta có $\Delta FAC=\Delta FBC \Rightarrow AF=BF$
Trong tam giác vuông $AFC: AS^2 =SF^2 +AF^2 \Rightarrow a=\dfrac{3}{2}$
Vậy $V=\dfrac{27\sqrt{13}}{4}$