Tìm m để phương trình nghiệm duy nhất.

Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{mx^2+mx+3}=mx+1$ có nghiệm duy nhất.


ĐK: $mx+1 \geq 0$
Phương trình trở thành: $(m^2−m)x^2+mx−2=0 \,\,(1)$

* $m^2-m=0 \Leftrightarrow m=0 \vee m=1$
 $m=0: (1) \Leftrightarrow-2=0$ (SAI) $ \Rightarrow m=0$ (loại)
 $m=1: (1) \Leftrightarrow x=2$  $ \Rightarrow m=1$ (nhận)

* $m^2-m \neq 0 \Leftrightarrow m \ne 0 \wedge m \ne 1$
Nếu m > 0 thì $x \geq -\dfrac{1}{m}$
Nếu m < 0 thì $x \leq -\dfrac{1}{m}$
# Xét trường hợp $x = -\dfrac{1}{m}$: không thỏa

Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow $ (1) có nghiệm kép hay (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa $x_1 < -\dfrac{1}{m} < x_2$

(1) có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta =0 \Leftrightarrow m= 0$ (loại) $\vee m=\dfrac{8}{9}$ (nhận)

(1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa $x_1 < -\dfrac{1}{m} < x_2 \\ \Leftrightarrow \left ( x_1 + \dfrac{1}{m} \right )\left ( x_2 + \dfrac{1}{m} \right ) < 0 \\ \Leftrightarrow x_1 x_2 + \dfrac{1}{m}(x_1 + x_2) + \dfrac{1}{m^2} < 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{-2}{m^2-m} + \dfrac{-m}{m(m^2-m)} + \dfrac{1}{m^2} < 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{-2m-1}{m^2(m-1)}< 0 \\ \Leftrightarrow m < -\dfrac{1}{2} \vee m > 1$
KL: $ \left [\begin{matrix} m < -\dfrac{1}{2} \\ m \geq 1 \\ m=\dfrac{8}{9} \end{matrix} \right.$