Tính tích phân:$I= \int_0^1\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+2x+2}}$

Tính tích phân:$I= \int_0^1\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+2x+2}}$

Giải

$I= \displaystyle \int_0^1\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt{(x+1)^2+1}}=\displaystyle \int_0^1\dfrac{x+1}{(x+1)^2\sqrt{(x+1)^2+1}}dx$

Đặt $t=\sqrt{(x+1)^2+1} \Rightarrow t.dt=(x+1)dx$
$x=0 \Rightarrow t=\sqrt{2} , \,\, x=1 \Rightarrow t=\sqrt{5}$

$I= \displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \dfrac{1}{t^2-1}dt=\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \dfrac{1}{(t-1)(t+1)}dt=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^1 \left[ \dfrac{1}{t-1} - \dfrac{1}{t+1}\right]dt$
$=\dfrac{1}{2}\ln \left| \dfrac{t-1}{t+1} \right| \bigg|_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{(3-\sqrt{5})(3+2\sqrt{2})}{2}$

Có thể đặt $t=x+1 \Rightarrow I= \displaystyle \int_1^2\dfrac{dt}{t\sqrt{t^2+1}}$ cho dễ nhìn rồi đặt tiếp $u=\sqrt{t^2+1}$