Tính tích phân $I = \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}+x} dx$

Tính tích phân $I = \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}+x} dx$

Giải

$I = \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} \dfrac{x^3(\sqrt{x^2+1}-x)}{(x^2+1)-x^2} dx \\ =\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} x^3\sqrt{x^2+1} dx-\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} x^4 dx=I_1-I_2$

Tính $I_1=\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} x^2.x\sqrt{x^2+1} dx$

Đặt $t=\sqrt{x^2+1} \Rightarrow t.dt=x.dx$

$x=0 \Rightarrow t=1 0 , \,\, x=\sqrt{3} \Rightarrow t=2$

$I_1=\displaystyle \int_{1}^{2} (t^4-t^2)dt=...$ mà $I_2=\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} x^4 dx=...$ nên $I=...$