Tính tích phân $J = \displaystyle \int\limits_{\frac{-3+2\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} \dfrac{dx}{(2x+3)\sqrt{4x^2+12x+5}}$

Tính tích phân $J = \displaystyle \int\limits_{\frac{-3+2\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} \dfrac{dx}{(2x+3)\sqrt{4x^2+12x+5}}$

Giải

Đặt $t=\sqrt{4x^2+12x+5} \Rightarrow \dfrac{t}{2}.dt=(2x+3)dx$
$x=\dfrac{-3+2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow t= 2 , \,\,  x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow t=2\sqrt{3}$

$\begin{align} J &= \displaystyle \int\limits_{\frac{-3+2\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} \dfrac{(2x+3)dx}{(2x+3)^2 \sqrt{4x^2+12x+5}} = \displaystyle \int\limits_{\frac{-3+2\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} \dfrac{(2x+3)dx}{(4x^2+12x+9)\sqrt{4x^2+12x+5}} \\ &= \dfrac{1}{2}\displaystyle \int\limits_{2}^{2\sqrt{3}} \dfrac{1}{t^2+4}dt =\dfrac{1}{2}J_1\end{align}$

Tính $J_1$: Đặt $t=2\tan u$
Sau một hồi lâu ta tính được $J_1=\dfrac{\pi}{24} \Rightarrow J=\dfrac{\pi}{48}$

Cách 2

Đặt $\dfrac{1}{t}=2x+3 \Rightarrow dx=-\dfrac{1}{2t^2}dt$
$x=\dfrac{-3+2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow t= \dfrac{1}{2\sqrt{2}} , \,\,  x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow t=\dfrac{1}{4}$

$J = \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2\sqrt{2}}}^{\frac{1}{4}} \dfrac{-dt}{2\sqrt{1-4t^2}} = -\displaystyle\dfrac{1}{4} \int\limits_{\frac{1}{2\sqrt{2}}}^{\frac{1}{4}} \dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-t^2}}dt=-\dfrac{1}{4}J_1$

Tính $J_1$: Đặt $t=\dfrac{1}{2}\sin u$
Sau một hồi lâu ta tính được $J_1=-\dfrac{\pi}{12} \Rightarrow J=\dfrac{\pi}{48}$