Tính tích phân: I=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{2\sin^2(\dfrac{\pi}{4}-x)}{\cos 2x}\mathrm{d}x.
Giải
\begin{aligned}I=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{2\sin^2(x-\frac{\pi }{4})}{\cos 2x}\mbox{dx}&=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{1-\cos (2x-\frac{\pi }{2})}{\cos^2 x-\sin^2 x}\mbox{dx}\\&=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{1-\sin 2x}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}\mbox{dx}\\&=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{(\cos x-\sin x)^2}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}\mbox{dx}\\&=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\mbox{dx}\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{d(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}\\ &=\ln|\cos x+\sin x| \Big|_{0}^{\frac{\pi }{6}}=\ln\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\end{aligned}
Không có nhận xét nào :
Đăng nhận xét
Chào bạn, nếu có thắc mắc, khen - chê xin để lại bình luận. Mỗi nhận xét của bạn đều rất quan trọng. Rất vui khi bạn viết bằng tiếng Việt có dấu.