Tính tích phân: $I=\int \limits_{1}^{e} \dfrac{\ln x. dx}{x\left( \sqrt{2+\ln x}+\sqrt{2-\ln x} \right)}$

Tính tích phân: $I=\int \limits_{1}^{e} \dfrac{\ln x. dx}{x\left( \sqrt{2+\ln x}+\sqrt{2-\ln x} \right)}$

Giải

$I=\int \limits_{1}^{e} \dfrac{\ln x}{x\left( \sqrt{2+\ln x}+\sqrt{2-\ln x} \right)}dx \\ = \int \limits_{1}^{e} \dfrac{\sqrt{2+\ln x}-\sqrt{2-\ln x}}{2x}dx \\ =\int \limits_{1}^{e} \dfrac{\sqrt{2+\ln x} }{2x}dx -\int \limits_{1}^{e} \dfrac{\sqrt{2-\ln x}}{2x}dx \\ =I_1-I_2$

Tính $I_1$: Đặt $t=\sqrt{2+\ln x}$

Tính $I_2$: Đặt $t=\sqrt{2-\ln x}$

Kết quả: $I=\dfrac{3\sqrt{3}-4\sqrt{2}+1}{3}$