Tính tích phân: $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \dfrac{\ln (\sin x + \cos x)}{\cos^{2}x}dx$

Tính tích phân: $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \dfrac{\ln (\sin x + \cos x)}{\cos^{2}x}dx$

Giải
Đặt
$\begin{cases} u=\ln (\sin x+\cos x) \Rightarrow \mbox{du}=\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} \mbox{dx} \\ \mbox{dv}=\dfrac{1}{cos^ 2x} \mbox{dx} \Rightarrow v=\tan x+ \mathbf{\color{Red} 1}=\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x}\end{cases}$

$I=(\tan x+1)\ln (\sin x+\cos x)\Big| _{0}^{\frac{\pi }{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x}dx$

$=\ln2-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\dfrac{\sin x}{\cos x}dx$

Đến đây giải nhẹ rồi

Nhận xét: khi tính $v$ ta chọn hằng số $C$ thích hợp thì bài toán dễ giải hơn, thông thường ta hay chọn $C=0$