Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S$

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = c, BC = a, CA = b và diện tích là S. Chứng minh: $a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S$


Ta có:
$\sin\left(A+\dfrac{\pi}{6}\right) \le 1 \\ \Rightarrow \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin A + \dfrac{1}{2}\cos A \le 1 \\ \Rightarrow \sqrt 3 \sin A + \cos A \le 2 \\ \Rightarrow \dfrac{2\sqrt{3}S}{bc}+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \le 2 \\ \Rightarrow 4\sqrt{3}S \le 4bc+a^2-b^2-c^2$

Tương tự:
$4\sqrt{3}S \le 4ca+b^2-c^2-a^2$
$4\sqrt{3}S \le 4ab+c^2-a^2-b^2$

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
$12\sqrt{3}S \le 4(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) $

mà: $ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2$
nên suy ra: $12\sqrt{3}S \le 3(a^2+b^2+c^2) $
hay: $a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S$