Tính $z = \frac{z_1}{z_2}$

Cho $|z_1| =3, |z_2|=4 , |z_1-z_2|= \sqrt{37}$. Tính $z = \dfrac{z_1}{z_2}$


Đặt $z_1 = a_1 +b_1i , z_2=a_2 +b_2i ; \;\;  a_1,a_2,b_1,b_2 \in R$

$\Rightarrow z_1 -z_2 =(a_1 -a_2)+(b_1 -b_2)i$

Theo giả thiết : $\begin{cases}|z_1| &= 3\\ |z_2| &= 4\\ |z_1-z_2| &= \sqrt{37} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a_1^2 +b_1^2 &= 9 \;\; (1)\\ a_2^2+b_2^2 &= 16 \;\; (2)\\ a_1a_2+b_1b_2 &= -6 \;\; (3) \end{cases}$

Ta có : $z=\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{a_2^2+b_2^2}=\dfrac{a_1a_2+b_1b_2}{16}-\dfrac{a_1b_2-a_2b_1}{16}i$
Từ (1) và (2)
$(a_1^2 +b_1^2)(a_2^2+b_2^2) = 144 \\ \Leftrightarrow (a_1a_2+b_1b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2=144 \\ \Leftrightarrow (-6)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2=144 \\ \Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1 =\pm 6\sqrt{3}$

Vậy : $z=-\dfrac{3}{8} \pm \dfrac{3\sqrt{3}}{8}i$